Question

9．已知函数g（x）=e²（ax²+a+1）-2e^x，若对任意的x∈[1，2]，都有g（x）≥0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，+∞）
• B． [$\frac{2}{e}$，+∞）
• C． [$\frac{2}{e}-1$，$\frac{1}{5}$]
• D． [1-$\frac{2}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 根据g（x）≥0即可得出$a≥\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，可设$f（x）=\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，且x∈[1，2]，从而可求导数，并根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）在[1，2]上的最大值，从而得出a的取值范围．

解答 解：由g（x）≥0得，e²（ax²+a+1）-2e^x≥0；
∴$a≥\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$；
设f（x）=$\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，$f′（x）=\frac{2{e}^{x}（{x}^{2}+1）-4x{e}^{x}+2{e}^{2}x}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{2{e}^{x}（x-1）^{2}+2{e}^{2}x}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∵x∈[1，2]；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在[1，2]上单调递增；
∴f（x）在[1，2]上的最大值为$f（2）=\frac{{e}^{2}}{5{e}^{2}}=\frac{1}{5}$；
∴$a≥\frac{1}{5}$；
∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{5}，+∞）$．
故选：A．

点评 考查不等式的性质，商的导数的计算公式，完全平方公式的运用，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据单调性求函数在闭区间上的最值的方法，恒成立问题的处理方法．