Question

15．已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）由题意可设直线l'：x=my+n，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$可得y²-4my-4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设动点M（x，y），
由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以轨迹E的方程为y²=4x．
（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．
理由：由题意可设直线l'：x=my+n，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$可得y²-4my-4n=0（*），
因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，
所以△=16m²+16n=0，即n=-m²．
所以（*）可化简为y²-4my+4m²=0，
所以A（m²，2m），
令x=-1得$P（-1，-\frac{1+n}{m}）$，
因为n=-m²，
所以$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NP}=（{m^2}-1，2m）•（-2，-\frac{1+n}{m}）=-2{m^2}+2-2-2n=0$
所以NA⊥NP，
所以点N在以PA为直径的圆C上．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，属于中档题．