题目内容

5．设集合Sn={1，2，3，…，n}，若Z是Sn的子集，把Z中的所有数的和称为Z的“容量”（规定空集的容量为0）．若Z的容量为奇（偶）数，则称Z为Sn的奇（偶）子集．
命题①：Sn的奇子集与偶子集个数相等；
命题②：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等
则下列说法正确的是（　　）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立

分析 ①设S为Sn的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；
②求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．

解答 解：①设S为Sn的奇子集，令T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集与之对应，故Sn的奇子集与偶子集个数相等，正确；
②对任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2n-1个，Sn的奇子集与偶子集个数相等可知，
在i≠1时，这2n-1个子集中有一半时奇子集，
在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3，同样可得其中有一半时奇子集，
于是在计算奇子集容量之和时，奇子集容量之和是$\sum_{i=1}^{n}$2n-2i=n（n+1）•2n-3，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．正确．
故选：A．

点评 本题考查集合的子集，是新定义的题型，关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想．值得同学们体会反思．属于难题．

练习册系列答案
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