设F1.F2分别是椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点.B为短轴的一个端点.且△F1BF2是边长为2的等边三角形．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若椭圆C长轴的两个端点为M.点P(x0.y0)使得直线PM与直线PN的斜率之积为-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$.证明:点P在椭� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

设F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，B为短轴的一个端点，且△F₁BF₂是边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C长轴的两个端点为M（-a，0），N（a，0），点P（x₀，y₀）使得直线PM与直线PN的斜率之积为-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，证明：点P在椭圆C上．

分析（1）通过△F₁BF₂是边长为2的等边三角形可知c=|OF₂|=1，利用椭圆定义可知2a=4，进而可得结论；
（2）通过设M（-a，0）、N（a，0）、P（x₀，y₀），并表示出直线PM、PN的斜率，利用k_PM•k_PN=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$计算即得结论．

解答（1）解：由图可知：c=|OF₂|=1，2a=|BF₁|+|BF₂|=2+2=4，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：∵M（-a，0）、N（a，0）、P（x₀，y₀），
∴直线PM、PN的斜率分别为k_PM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
又∵直线PM与直线PN的斜率之积为-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴点P（x₀，y₀）在椭圆C上．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案

优翼专项小学升学总复习系统强化训练系列答案

x²

2x²

8．已知圆C：x²+y²-4x+3=0，点P（a，a+1）（a∈R），过点P的直线与圆C有且只有一个公共点M，则PM的最小值为$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

5．设集合S_n={1，2，3，…，n}，若Z是S_n的子集，把Z中的所有数的和称为Z的“容量”（规定空集的容量为0）．若Z的容量为奇（偶）数，则称Z为S_n的奇（偶）子集．
命题①：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
命题②：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等
则下列说法正确的是（　　）

	A．	命题①和命题②都成立		B．	命题①和命题②都不成立
	C．	命题①成立，命题②不成立		D．	命题①不成立，命题②成立