Question

（2008•成都三模）设奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在P（1，f（1））处的切线的斜率为-6．且x=2时，f（x）取得极值．
（1）求实数a、b、c、d的值；
（2）设函数f（x）的导函数为f'（x），函数g（x）的导函数g′(x)=-

1

2

f′(x)+4mx-3mx2-4，m∈（0，1），求函数g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当x∈[m+1，m+2]时，|g'（x）|≤m恒成立，试确定m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用y=f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立，从而b=d=0，所以f（x）=ax³+cx．求导函数f'（x）=3ax²+c，利用P（1，f（1））处的切线的斜率为-6．且x=2时，f（x）取得极值，可得f′（1）=-6，f′（2）=0，从而可得实数a、b、c、d的值；
（2）先求得g′（x）=-x²+4mx-3m²，m∈（0，1），再画出表格，从而确定函数g（x）的单调区间；
（3）由|g′（x）|≤m，得-m≤x²+4mx-3m²≤m，根据0＜m＜1，可得m+1＞2m，从而g′（x）=-x²+4mx-3m²在[m+1，m+2]上为减函数，故可求[g′（x）]_max；[g′（x）]_min．从而可得不等式，故可求m的取值范围．

解答：解：（1）∵y=f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴-ax³+bx²-cx+d=ax³+bx²+cx+d
∴b=d=0．
从而f（x）=ax³+cx．
∴f′（x）=3ax²+c…（2分）
又函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在P（1，f（1））处的切线的斜率为-6，且x=2时，f（x）取得极值
∴f′（1）=-6，f′（2）=0，
∴

3a+c=-6   12a+c=0

∴

a= 2 3   c=-8

∴a=

2

3

，b=0，c=-8，d=0．
（2）依题意，g'（x）=-x²+4mx-3m²，m∈（0，1）．
令g'（x）=-x²+4mx-3m²=0，得x=m或x=3m．
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，m）	（m，3m）	（3m，+∞）
g'（x）的符号	-	+	-
g（x）的单调性	递减	递增	递减

由表可知：当x∈（-∞，m）时，函数g（x）为减函数；当x∈（3m，+∞）时，函数g（x）也为减函数；当x∈（m，3m），函数g（x）为增函数．
∴函数g（x）的单调递增区间为（m，3m），单调递减区间为（-∞，m），（3m，+∞）．
…（2分）
（3）由|g'（x）|≤m，得-m≤x²+4mx-3m²≤m．
∵0＜m＜1，∴m+1＞2m．
∵函数g'（x）=-x²+4mx-3m²的对称轴为x=2m
∴g'（x）=-x²+4mx-3m²在[m+1，m+2]上为减函数．
∴[g'（x）]_max=g'（m+1）=2m-1；[g'（x）]_min=g'（m+2）=4m-4．…（2分）
于是，问题转化为求不等式

2m-1≤m 4m-4≥-m

的解．
解此不等式组，得

4

5

≤m≤1．
又0＜m＜1，
∴所求m的取值范围是[

4

5

，1)．…（2分）

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查利用导数求函数的单调性，求函数的最值，综合性较强．