Question

正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的一个点．
(1)设“V_PABC≥V”的事件为X，求概率P(X)；
(2)设“V_PABC≥V”且“V_PBCD≥V”的事件为Y，求概率P(Y)．

Answer 1

（1）（2）

首先确定点P的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率为.
（1)如图，分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，

并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，并连结EF、FG、GE，
则平面EFG∥平面ABC.
当P在正四面体DEFG内部运动
时，满足V_PABC≥V，故P(X)＝.
(2)在AB上取点H，使AH＝3HB，在AC上取点I，
使AI＝3IC，在AD上取点J，使AJ＝3JD，
则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足V_PBCD≥V.
设JH交EF于M，JI交EG于N，则面MIN∥面BCD.
结合(1)，当P在正四面体DFEG的内部及正四面体AHIJ的内部运动，也即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足V_PABC≥V且V_PBCD≥V，于是P(Y)＝.