Question

已知tanα=4

3

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

．
（1）求cos2α的值；
（2）求β．

Answer 1

分析：（1）根据题意，利用同角三角函数的关系解出sinα=

4 3

7

、cosα=

1

7

，再由二倍角的余弦公式即可算出cos2α的值；
（2）由0＜β＜α＜

π

2

，利用同角三角函数的关系算出sin(α-β)=

3 3

14

，再进行配角：β=α-（α-β），利用两角和的余弦公式并结合（1）的结论算出cosβ=

1

2

，可得角β的大小．

解答：解：（1）∵tanα=4

3

，
∴

sinα cosα =4 3 sin2α+cos2α=1

，解之得sin²α=

48

49

，cos²α=

1

49

．
又∵0＜α＜

π

2

，∴sinα=

4 3

7

，cosα=

1

7

（舍负）
因此，cos2α=cos2α-sin2α=-

47

49

；
（2）∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

又∵cos(α-β)=

13

14

，∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

，
由（1）知sinα=

4 3

7

，cosα=

1

7

．
∴cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，
又∵0＜β＜

π

2

，∴β=

π

3

．

点评：本题通过求cos2α的值与角β的大小，考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等知识，属于中档题．