Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，求平面A₁BC₁与ACD₁的距离．

Answer 1

∵BC₁∥AD₁，AD₁?平面ACD₁
∴BC₁∥平面ACD₁，
同理A₁B∥平面ACD₁，A₁B∩BC₁=B，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁
建立如图直角坐标系，
∵AB=4，BC=3，CC₁=2，A₁=（3，0，2），B（3，4，0），C₁（0，4，2）
∴

A1B

=(0，4，-2)，

BC1

=(-3，0，2)，
设

n

(x，y，z) 为平面A₁BC₁ 的法向量，
则

n

⊥

A1B

?

n

•

A1B

 =0?4y-2z=0，

n

⊥

BC1

?

n

•

BC1

=0?-3x+2z=0，
不妨设 z=1，
∴y=

1

2

，x=

2

3

，
∴

n

=(

2

3

，

1

2

，1)
设两平行平面间的距离为d
则d 等于D₁ 到平面A₁BC₁ 的距离 
∴d=

| n • D1A1 |

| n |

=

12 61

61

．