Question

已知f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x，为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式解答即可．
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范围表达式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．

解答：解：由题意，f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x
=2sinx+2sin²x+cos2x=2sinx+1，
（1）函数的周期是T=

2π

1

=2π．
（2）由|f（x）-m|＜2得：-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2
∵A⊆B，
∴当

π

6

≤x≤

2

3

π时，f（x）-2＜x＜f（x）+2恒成立．
∴[f（x）-2]_max＜m＜[f（x）+2]_min
又x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f(x)max=f(

π

2

)=2sin

π

2

+1=3；f(x)min=f(

π

6

)=2sin

π

6

+1=2，
所以[f（x）-2]_max=3-2=1＜m＜[f（x）+2]_min=2+2=4，
∴m∈（1，4）

点评：本题考查三角函数的化简，二倍角公式、周期公式的应用，三角函数在闭区间上的最值，恒成立的应用，属于中档题．