Question

（本小题满分14分）已知关于x的函数.

（I）求函数在点处的切线方程；

（II）求函数有极小值，试求a的取值范围；

（III）若在区间上，函数不出现在直线的上方，试求a的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（III）的最大值为0．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，讨论二次方程的二次项系数的符号与两根的大小进行求解；（III）构造函数，将问题转化为不等式恒成立，利用导数求最值即可.

试题解析：（Ⅰ）

又

所以在点P（1,0）处的切线方程为. ４分

（Ⅱ） ５分

令

(i)时无解，无极小值；

(ii) 时，，所以有两解，且；

时，

时，

此时，无极小值. ７分

(iii) 时, 因为,的对称轴为,要使函数有极小值,则即 或

此时有两解，不妨设设， 则 时，

时，此时，有极小值. ９分

综上所述，. 10分

（Ⅲ）由题意，

即 11分

下证：

记

则

时，

时，

即 12分

(i) 时，

(ii) 时，取，

则

与题意矛盾.

故的最大值为0.

考点：1.导数的几何意义；2.函数的极值与最值；3.分类讨论思想.