Question

14．已知函数$f（x）=2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$．
（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，求得x的值，可得结论．

解答 解：（1）f（x）=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{cos^2}x+\sqrt{3}$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，所以f（x）的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．
（2）令$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）=1$，∴$sin（2x-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，故 $2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴当函数y=f（x）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．