题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2| 5 |
（Ⅰ）求证：PA⊥PC；
（Ⅱ）求二面角P-EC-B的正切值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）由勾股定理得PA⊥PB，又PA⊥BC，所以PA⊥平面PBC，由此能证明PA⊥PC．
（Ⅱ）在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，F为垂足，则PF⊥平面ABC．在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角，由此能求出二面角P-EC-B的正切值．
（Ⅱ）在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，F为垂足，则PF⊥平面ABC．在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角，由此能求出二面角P-EC-B的正切值．
解答：
（Ⅰ）证明：∵PA=4，PB=2，AB=2
，
∴PA2+PB2=AB2=20，∴PA⊥PB．…（2分）
又∵PA⊥BC，PB∩BC=B，∴PA⊥平面PBC，…（4分）
故PA⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，在△PBC中，∵PB=2，PC=4，∠BPC=60°，
∴BC2=22+42-2×2×4cos60°=12，∴BC=2
，
∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC．
又PA⊥BC，PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．…（8分）
在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，
F为垂足，则PF⊥平面ABC．
在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，
则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角．…（10分）
又PF=
，
在Rt△PFB中，BF=
=
，
∴EF=BE-BF=
．
而B点到EC的距离为d=
=2
，
∴GF=
d=
．…（12分）
设所求二面角大小为θ，则tanθ=
=
，
∴二面角P-EC-B的正切值为
．（14分）
| 5 |
∴PA2+PB2=AB2=20，∴PA⊥PB．…（2分）
又∵PA⊥BC，PB∩BC=B，∴PA⊥平面PBC，…（4分）
故PA⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，在△PBC中，∵PB=2，PC=4，∠BPC=60°，
∴BC2=22+42-2×2×4cos60°=12，∴BC=2
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∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC．
又PA⊥BC，PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．…（8分）
在平面PAB内，过点P作PF⊥AB，
F为垂足，则PF⊥平面ABC．
在Rt△EBC中，过F作FG⊥EC，G为垂足，连接PG，
则∠PGF就是二面角P-BC-B的平面角．…（10分）
又PF=
4
| ||
| 5 |
在Rt△PFB中，BF=
22-(
|
2
| ||
| 5 |
∴EF=BE-BF=
3
| ||
| 5 |
而B点到EC的距离为d=
| ||||
|
|
∴GF=
| EF |
| BE |
| 6 |
| 5 |
|
设所求二面角大小为θ，则tanθ=
| PF |
| GF |
2
| ||
| 9 |
∴二面角P-EC-B的正切值为
2
| ||
| 9 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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