Question

6．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1且a₁，a₃，a₉，成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\{{2^{a_n}}+{a_n}\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d≠0．由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，可得a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式．
（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式，分组求和即可．

解答 解：（1）：设数列{a_n}的公差为d≠0．
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），
∴4d²=8d，
∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）=1+n-1=n．
（Ⅱ）∵${2}^{{a}_{n}}$+a_n=2ⁿ+n，
∴数列$\{{2^{a_n}}+{a_n}\}$的前n项和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用以及前n项和公式，考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题