Question

11．已知函数f（x）=x²+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（0，2）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴，得到m，利用方程的根的关系，qcn，即可得到函数的解析式．
（2）通过配方，利用二次函数的性质，求解函数的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（0）=f（1），可知函数f（x）图象的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，所以$-\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，
解得m=-1，所以f（x）=x²-x+n．
因为方程f（x）=x即x²-2x+n=0有两个相等的实数根，所以其根的判别式△=（-2）²-4n=0，
解得n=1．
所以f（x）=x²-x+1．…（6分）
（Ⅱ）因为$f（x）={x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，所以当$x=\frac{1}{2}$时，$f{（x）_{min}}=\frac{3}{4}$，且f（x）＜f（2）=3．
所以函数f（x）的值域为$[{\frac{3}{4}，3}）$．…（12分）

点评 本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力．