Question

12．已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin²β，求证：2cos2α=cos2β．

Answer 1

分析 由同角三角函数关系式得到4cos²α-2=1-2sin²β，由此利用二倍角公式能证明2cos2α=cos2β．

解答 证明：∵sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin²β，
∴sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sin²β=4sin²α=4-4cos²α，
∴4cos²α-2=1-2sin²β，
∵2cos2α=2（2cos²α-1）=4cos²α-2，
cos2β=1-2sin²β，
∴2cos2α=cos2β．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和二倍角公式的合理运用．