Question

17．已知二次函数f（x）满足f（0）=1，f（2）=3，且在（-∞，$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，求函数g（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+k，利用f（0）=1，f（2）=3，求出a，k，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，利用二次函数的图象求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，则g（x）=x²+x-2令g（x）=0，求函数g（x）的零点．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+k，
∵f（0）=1，f（2）=3，
∴$\frac{1}{4}$a+k=1，$\frac{9}{4}$a+k=3，
∴a=1，k=$\frac{3}{4}$
∴函数f（x）的解析式f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）∵x∈[-1，1]，∴函数f（x）的值域[$\frac{3}{4}$，3]；
（Ⅲ）若f（x）-g（x）=-2x+3，则g（x）=x²+x-2
令g（x）=0，∴x=1或-2．
∴函数g（x）的零点是1或-2．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．