Question

8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}ccos（2016π-B）-sin（2017π+C）=0$．
（1）求角B的大小；
（2）若动点D在△ABC的外接圆上，且点D，B不在AC的同一侧，AC=7，试求△ACD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式和和正弦定理即可求出，
（2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}ccos（2016π-B）-bsin（2017π+C）=0$，
∴$\sqrt{3}ccosB+bsinC=0$，
由正弦定理，得$\sqrt{3}sinCcosB+sinBsinC=0$，
又0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴$\sqrt{3}ccosB+bsinC=0$，
即$tanB=-\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由点D在△ABC的外接圆上，B，D不在AC的同侧，得$∠D=π-∠B=\frac{π}{3}$，
在△ACD中，由余弦定理，得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcosD≥2AD•CD（1-cosD）=AD•CD，即49≥AD•CD，当且仅当AD=CD时，取等号．
∴△ACD的面积$S=\frac{1}{2}AD•CDsinD≤\frac{1}{2}×49sin\frac{π}{3}=\frac{{49\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及三角函数的化简，考查了学生的运算能力，属于中档题