Question

8．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，且它的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．
（Ⅱ）根据函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求出函数y=f（x）的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵它的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），∴cos（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{π}{3}$+φ=-$\frac{π}{3}$，∴φ=-$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数y=f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．