Question

已知a＞0，函数f（x）=

a

3

x³-ax²+x+1．
（Ⅰ）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且1＜

x2

x1

≤5，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当x≥2时，求3f（x）+|f′（a）-1|的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用求函数极值的方法，和根与系数的关系，得出参数a的范围．
（Ⅱ）首先判断f（x）单调递增函数，求出f（x）的最小值，令g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|，问题得以解决．

解答： 解（Ⅰ） f'（x）=ax²-2ax+1．
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，所以x₁，x₂是f'（x）=0的两根．
∴x1+x2=2，x1•x2=

1

a

．
又∵1＜

x2

x1

≤5，
∴2＜

x1+x2

x1

≤6．
∴1＜

1

x1

≤3．
从而

1

3

≤x1＜1．
∴

1

a

=x1x2=x1(2-x1)=-(x1-1)2+1
当

1

3

≤x1＜1时，

1

a

∈[

5

9

，1)．
故 a∈(1，

9

5

]．
（Ⅱ）当x≥2时，f'（x）单调递增
∴f'（x）≥f'（2）=1．
∴f（x）单调递增
∴f（x）的最小值f(x)min=f(2)=3-

4

3

a．
令g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|
∴g(a)≥9-4a+|a3-2a2|=

a3-2a2-4a+9，a≥2 -a3+2a2-4a+9，a＜2

．
又9-4a+|a3-2a2|=

a3-2a2-4a+9，a≥2 -a3+2a2-4a+9，a＜2

≥1．
∴g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|的最小值为1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力．