Question

13．在△ABC中，∠B=30°，AC=$\sqrt{3}$．
（1）若∠A=45°，求AB的长；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用正弦定理即可得解AB的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求AB•BC≤6+3$\sqrt{3}$，当且仅当AB=BC时等号成立，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵B=30°，A=45°，
∴sinC=sin（A+B）=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∵AC=$\sqrt{3}$，由正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，可得：AB=$\frac{AC•sinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
（2）∵B=30°，AC=$\sqrt{3}$，由余弦定理可得：3=AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=AB²+BC²-$\sqrt{3}$AB•BC≥（2-$\sqrt{3}$）AB•BC，
∴AB•BC≤$\frac{3}{2-\sqrt{3}}$=3（2+$\sqrt{3}$）=6+3$\sqrt{3}$，当且仅当AB=BC时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB≤$\frac{1}{2}×$（6+3$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积的最大值是$\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．