Question

9．不等式|2a-b|+|a+b|≥|a|（|x-1|+|x+1|）对于任意不为0的实数a，b恒成立，则实数x的范围为（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• C． $（-∞，-\frac{3}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $[-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 由绝对值不等式的性质可得|2a-b|+|a+b|≥3|a|，再由所给的条件可得3|a|≥|a|（|x-1|+|x+1|），即3≥|x-1|+|x+1|．再根据绝对值的意义求得3≥|x-1|+|x+1|的解集．

解答 解：由绝对值不等式的性质可得|2a-b|+|a+b|≥|2a+b+（a-b）|=3|a|，
再由不等式|2a-b|+|a+b|≥|a|（|x-1|+|x-1|）恒成立，可得3|a|≥|a|（|x-1|+|x+1|），
故有3|a|≥|a|（|x-1|+|x-1|），即3≥|x-1|+|x+1|．
而由绝对值的意义可得|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1和-1对应点的距离之和，而-$\frac{3}{2}$和$\frac{3}{2}$对应点到1和-1对应点的距离之和正好等于3，
故3≥|x-1|+|x+1|的解集为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．