Question

5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）coswx$（0＜w＜2），且f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知$g（\frac{α}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$，求$cos（2α-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，利用f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，求得w的值，可得f（x）的解析式，从而求得函数的最小正周期．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据已知$g（\frac{α}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$，求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用二倍角公式求得$cos（2α-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）coswx$=（2$\sqrt{3}$sinwx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$coswx•$\frac{1}{2}$）coswx
=$\frac{3}{2}$sin2wx+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2wx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，∴$\sqrt{3}$sin（2w$•\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2w$•\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即w=$\frac{6k-1}{5}$．
再结合0＜w＜2，可得w=1，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将y=f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
得到函数y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的图象．
已知$g（\frac{α}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∴$cos（2α-\frac{π}{3}）$=1-2${sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{7}{9}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，二倍角公式，正弦函数函数的图象和性质，属于中档题．