Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（-2，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=$\frac{1}{4}$（t⁴-2t²-8t+1），判断单调性，可得出a的取值范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²+x+a的导数为f′（x）=2x+1；
当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1①，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，
且a=$\frac{1}{4}$（t⁴-2t²-8t+1），导数为a′=t³-t-2，且a′＜0在（0，1）恒成立，
则函数a在（0，1）为减函数，
∴-2＜a＜$\frac{1}{4}$，
故答案为：（-2，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．