Question

11．已知a是实数，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．

Answer 1

分析 利用奇函数的定义，求出a，根据基本不等式，即可求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$是奇函数，
∴$\frac{{x}^{2}-ax+4}{-x}$=-$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$，
∴a=0，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
∵x＞0，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
当且仅当x=2时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为4．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．