Question

2．已知椭圆的一个顶点为A（0，-$\sqrt{2}$），焦点在x轴上．若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）P是椭圆上的点，且以点P及两个焦点为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，求出右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），由点到直线距离公式能求出a，由此能求出所求椭圆的方程．
（2）设P（x，y），由三角形面积为1，得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，由此能求出点P的坐标．

解答 解：（1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，则右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），
由题设$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=4，
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设P（x，y），由三角形面积为1，
得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入椭圆，得$x=±\sqrt{3}$，
∴点P的坐标有四个，分别为（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和点到直线的距离公式的合理运用．