Question

【题目】已知点F1为椭圆E：(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[，1).

【解析】

(1)由已知为等腰直角三角形可知，直线和椭圆相切方程联立，判别式为0，即可求得，进而得出结果；

(2)由（1）求得坐标，得到的值，当直线与轴垂直时，直接由，求得λ值；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为y＝kx＋3，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得的取值范围，再由根与系数的关系，结合，把λ用含有的表达式表示，则实数λ的取值范围可求.

解：⑴∵为等腰直角三角形 ∴，则椭圆E方程化为：

由得

∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M. ∴，即

∴椭圆E方程为：

⑵由(1)得M，直线与y轴交于P，

方法一：①当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(3＋)×(3－)＝6，

∴

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得，

，即，x1x2＝

∴|PA|·|PB|＝

=

∵ ∴，即，则

综上所述，λ的取值范围是[，1)．

方法二：设直线l的参数方程为（t为参数），

代入椭圆E的方程得，，即

设A，B对应的参数分别为，，则

∴|PA|·|PB|＝

∵∴，即，则

综上所述，λ的取值范围是[，1)．