Question

【题目】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且，．

1求证：平面SAP；

2求二面角的余弦的大小．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

1欲证平面SAP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PD与平面SAP内两相交直线垂直，根据题意可知是SB与平面ABCD所成的角，根据勾股定理可知，根据线面垂直的性质可知，而满足定理所需条件；

2设Q为AD的中点，连接PQ，根据，，则是二面角的平面角，在中，求出二面角的余弦即可．

1

证明：因为底面ABCD，

所以，是SB与平面ABCD所成的角

由已知，所以易求得，

又因为，所以，所以

因为底面ABCD，平面ABCD，

所以，

由于所以平面

2设Q为AD的中点，连接PQ，

由于底面ABCD，且平面SAD，

则平面平面

，平面SAD，平面SAD，．

过Q作，垂足为R，连接PR，则面QPR．

又面QPR，，是二面角的平面角

容易证明∽，则．

因为，，，

所以

在中，因为，，

所以

所以二面角的余弦为