Question

已知圆的方程:
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线相交于,两点，且,求的值
（3）若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

Answer 1

(1);(2);(3).

试题分析：(1)圆的方程要满足;或配成圆的标准方程，;
(2) 利用弦心距公式，先求点到面的距离，利用 ，求出的值;
(3)设,若,那么,利用直线方程与圆的方程联立，得到根与系数的关系式，代入后，求得的值.
试题解析：解：（1）(1)方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0，可化为
(x－1)²＋(y－2)²＝5－m，
∵此方程表示圆，
∴5－m＞0，即m＜5.
(2) 圆的方程化为 ，圆心 C（1，2），半径 ，
则圆心C（1，2）到直线的距离为
由于，则，有，
得.
（3）
消去x得(4－2y)²＋y²－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y²－16y＋m＋8＝0.
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则
      ①②
由OM⊥ON得y₁y₂＋x₁x₂＝0
即y₁y₂＋(4－2y₁)(4－2y₂)＝0，
∴16－8(y₁＋y₂)＋5y₁y₂＝0.
将①②两式代入上式得
16－8×＋5×＝0，
解之得.