Question

已知函数g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，f（x）=

1

2

ax²-ax-3
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得x₀=

x1+x2

2

且曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）均存在“中值相依切线”．试问：函数F（x）=g（x）-f（x）是否存在“中值相依切线”？请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，求出b，利用导数的正负，即可求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： 解：（Ⅰ）易知函数g（x）的定义域是（0，+∞），且g′（x）=

b2

x

-b，…（1分）
因为函数g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，所以g′（1）=b²-b=0，且b≠0，
所以b=1，…（3分）
所以g（x）=lnx-x-3，g′（x）=

1-x

x

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以x=1是函数g（x）的极大值点，并且是最大值点，…（5分）
所以g（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞），g（x）≤g（1）．…（6分）
（Ⅱ）不存在．…（7分）
理由如下：F（x）=g（x）-f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x
∴F′（x）=

1

x

-ax+（a-1）
假设函数F（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲线y=F（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则k_AB=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）…（8分）
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=F′（x₀）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+a-1…（9分）
依题意得

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+a-1
设

x2

x1

=t（t＞1），上式可化为lnt+

4

t+1

=2．
令h（t）=lnt+

4

t+1

，则h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因为t＞1，显然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上递增，显然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
综上所述，假设不成立．
所以函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（12分）

点评：本题考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查导数知识的运用，考查存在性问题，综合性强．