Question

11．若直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1相交于A、B两点，满足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且直线1与圆x²+y²=r²相切．
（1）求圆的方程；
（2）求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以O为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，即有x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，将椭圆方程化为极坐标方程，设出设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$+θ），运用勾股定理求得AB的长，由面积公式可得O到直线AB的距离，即为圆的半径，即可得到所求圆的方程；
（2）化简弦长AB，注意运用同角的平方关系和二倍角公式，借助正弦函数的值域，即可得到最值，进而得到范围．

解答 解：（1）以O为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，
即有x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
则椭圆方程为4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
即有ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$=$\frac{12}{3+co{s}^{2}θ}$，
设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$+θ），
则ρ₁²=$\frac{12}{3+co{s}^{2}θ}$，ρ₂²=$\frac{12}{3+co{s}^{2}（\frac{π}{2}+θ）}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，
由直角三角形OAB，可得OA²+OB²=AB²，
即有AB²=ρ₁²+ρ₂²=$\frac{84}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}$，
点O到直线AB的距离满足d²=$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}{{ρ}_{2}}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{12}{7}$，
直线1与圆x²+y²=r²相切，可得r²=d²=$\frac{12}{7}$，
即有圆的方程为x²+y²=$\frac{12}{7}$；
（2）AB²=$\frac{84}{（3+si{n}^{2}θ）（3+co{s}^{2}θ）}$=$\frac{84}{12+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$
=$\frac{84}{12+\frac{1}{4}si{n}^{2}2θ}$，由0≤sin²2θ≤1，可得AB²∈[$\frac{48}{7}$，7]．
即有弦长|AB|的取值范围是[$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，注意化为极坐标方程，考查直线和圆相切的条件，化简整理的运算能力，属于中档题．