Question

1．给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．
（1）证明：函数f（x）=x²+1是爬坡函数；
（2）若函数f（x）=4^x+m•2^x+1+x+2m²-4是爬坡函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的实数b，函数$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{b}{4}$都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义直接判断f（x）-≥0恒成立即可；
（2）由题意可知，4^x+m•2^x+1+2m²-4≥0恒成立，利用换元思想，设2^x=t，则t＞0，上式变为t²+2mt+2m²-4≥0，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；
（3）由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{b}{4}＜x$，相当于f（x）-x=0有两不相等的实根，得出${△_1}={（b-1）^2}-4（c-\frac{b}{4}）＞0$，即b²-b+1-4c＞0对任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知${△_2}={1^2}-4（1-4c）＜0$．

解答 解：（1）∵$f（x）-x={x^2}-x+1={（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$，
∴f（x）≥x恒成立，即得函数f（x）=x²+1是爬坡函数；…（3分）
（2）由题意可知，4^x+m•2^x+1+x+2m²-4≥x恒成立，
∴4^x+m•2^x+1+2m²-4≥0恒成立．
设2^x=t，则t＞0，上式变为t²+2mt+2m²-4≥0，
设g（t）=t²+2mt+2m²-4=（t+m）²+m²-4（t＞0）
①若-m＞0，则$g{（t）_{min}}={m^2}-4≥0$，解得m≤-2；
②若-m≤0，则g（0）=2m²-4≥0，解得$m≥\sqrt{2}$；
综上所述，m的取值范围是m≤-2或$m≥\sqrt{2}$；…（9分）
（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{b}{4}＜x$，
即${x^2}+（b-1）x+c-\frac{b}{4}＜0$，
故${△_1}={（b-1）^2}-4（c-\frac{b}{4}）＞0$，即b²-b+1-4c＞0对任意的实数b恒成立，
∴${△_2}={1^2}-4（1-4c）＜0$，解得$c＜\frac{3}{16}$．…（14分）

点评 考查了新定义类型的解题方法，应紧扣定义，用到了二次函数对称轴的讨论和最值问题的转换．