Question

6．已知圆x²+y²-2x+4y+m=0和直线x-y-2=0交于P，Q两点．若OP⊥OQ（O为原点），求m的值．

Answer 1

分析 由已知中，圆圆x²+y²-2x+4y+m=0和直线x-y-2=0交于不同的P，Q两点，使用“设而不求”、“联立方程”以及“韦达定理”的方法，结合OP⊥OQ，可以构造一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线与圆方程得到：$\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\{x}^{2}{+y}^{2}-2x+4y+m=0\end{array}\right.$，消去x化简可得：
（y+2）²-2（y+2）+y²+4y+m=0
整理得：2y²+6y+m=0
则：y₁+y₂=3，y₁•y₂=m，
∴x₁•x₂=（y₁+2）•（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=m+10
已知OP⊥OQ
则，K_op•K_oq=-1
即：y₁•y₂+x₁•x₂=0
∴2m+10=0
∴m=-5
故答案为：-5．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中“设而不求”、“联立方程”以及“韦达定理”的方法，是解答直线与圆锥曲线（包括圆）位置关系中，最常用的方法，一定要熟练掌握．