Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上恒存在一点p（x，y）到x轴与y轴的距离比为3，求离心率范围．

Answer 1

分析 由题意，|y|=3|x|，可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，利用x的范围，即可求离心率范围．

解答 解：由题意，|y|=3|x|，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴1≥${a}^{2}（\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}）$，且$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}$＞0，
∴b²＞9a²，
∴e＞$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．