Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域且判断奇偶性；
（2）求不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）构造函数，根据对数函数的定义即可求出定义域，再根据奇偶性的定义即可判断；
（2）需要分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可，注意定义域．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（1-x²），
∵1-x²＞0，解得-1＜x＜1，
∴函数的定义域为（-1，1），
∵F（-x）=log_a（1-（-x）²）=log_a（1-（-x）²）=F（x），
∴F（x）为偶函数，
即f（x）+g（x）为偶函数，
（2）∵f（x）≥g（x）
∴log_a（x+1）≥log_a（1-x），
当a＞1时，x+1≥1-x，解得0≤x＜1，
当0＜a＜1时，x+1≤1-x，解得-1＜x≤0，
综上所述，当a＞1时，解集为[0，1），
当0＜a＜1时，解集为（-1，0]．

点评：本题考查了对数函数的定义和性质，以及函数的奇偶性，不等式的解法，属于基础题