Question

【题目】已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，，C的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知不经过点A的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的中点为B，若，求证：直线l过定点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为，由，求得的值，进而得到的值，得出椭圆的方程；

（Ⅱ）联立方程组，得，利用根与系数的关系，求得，，再结合向量的数量积的运算公式，列出方程求得的值，代入验证，即可求解．

（Ⅰ）由已知，所以，

设椭圆C的半焦距为，因为，所以，所以，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意知，

联立，整理得，

由题意知．（*）

设，，则，，

因为，B为线段MN的中点，所以，

所以，

又，，，

所以，

所以，

整理得，得或，

当时，l的方程为，过定点，不符合题意；

当时，l的方程为，

过定点，经检验，符合（*）式，

综上所述，直线l过定点．