Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，抛物线C的焦点为F，且.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设点Q是抛物线C上的动点，点D，E在y轴上，圆内切于三角形，求三角形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8

【解析】

（Ⅰ）根据抛物线的定义得到点的坐标，将其代入抛物线方程即可得到结果；

（Ⅱ）设，，且，利用直线与圆相切可得，同理可得，所以，是方程的两根.利用根与系数的关系求出，再根据三角形面积公式与基本不等式可得答案.

（Ⅰ）因为直线与抛物线交于M，且.

根据抛物线的定义可知，，所以，所以，

所以，因为，所以解得，

∴抛物线方程为.

（Ⅱ）设，，且，

∴直线的方程为，即，

由直线与圆相切，

得，注意到，

化简得，

同理得

所以，是方程的两根，

所以，，

所以，

∴（当且仅当时等号成立）

因此三角形的面积的最小值为8.