Question

19．根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633-2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．
表一：

空气质量指数	[0，50]	[51，100]	[101，150]	[151，200]	[201，300]	300以上
空气质量状况	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）
（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由
（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）
附：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overrightarrow{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）}}$，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强
参考数据：$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=28，$\sum_{i=1}^{n}$（y₁-$\overline{y}$）²≈123134，$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-$\overline{x}$）（y₁-$\overline{y}$）=$\stackrel{•}{5}$68，$\sqrt{3447752}$≈1857．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出平均数，比较即可；
（Ⅱ）求出r，根据r的范围判断即可；
（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为-200，400，700分别求出P（X=-200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．

解答 解：（Ⅰ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：
$\frac{0+435+349+328+396+247+299}{7}$≈293.43，
北京市近一周空气污染指数的平均数为：
$\frac{0+477+222+327+362+237+214}{7}$≈262.71，
∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，
且石家庄市比北京市的污染更严重；
（Ⅱ）r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overrightarrow{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）}}$≈$\frac{568}{\sqrt{28×123134}}$≈$\frac{568}{1857}$≈0.31，
∵r∈[0.30，0.75），
∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般；
（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，
则X可能的取值为-200，400，700，
P（X=-200）=$\frac{6}{14}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=400）=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=700）=$\frac{1}{14}$，
则X的分布列为：

X	-200	400	700
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{14}$

故E（X）=-200×$\frac{3}{7}$+400×$\frac{1}{2}$+700×$\frac{1}{14}$=$\frac{1150}{7}$≈164（元），
故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元．

点评 本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题．