Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，，设弦，的中点分别为，．证明：，，三点共线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．

（Ⅰ）解：由题意知，，．又，

，，

椭圆E的方程为；

（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，

中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；

当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，

且设，，．

则，，相减得，

，即，即，

；

同理可得，

，

所以O，M，N三点共线．