Question

【题目】已知函数 .

（1）讨论函数的定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）对求导，对进行分类讨论，根据导数的正负，即可能求出函数在定义域内的极值点的个数；（2）由函数在处取得极值，可得，从而解得，恒成立等价于，构造，求得函数的单调性，即可得出，从而求得实数的最大值.

试题解析：（1）的定义域为，.

当时，在 上恒成立，函数f(x)在上单调递减.

∴在(0，＋∞)上没有极值点.

当时，由得.

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值.

综上，当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点.

(2) ∵函数在处取得极值，

∴，则，从而

∵恒成立

∴恒成立

令，则，由得，则在上递减，在上递增.

∴，故实数b的最大值是