Question

【题目】记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满

足且的x恒成立，则称为函数.

（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；

（2）设函数，其中常数，证明： 是函数；

（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1) 是函数(2)见解析(3) 函数为周期函数

【解析】试题分析： 求出的定义域， 对任意恒成立转化成对任意恒成立，解出，使得

为函数只需证明存在实数， 使得当且时， 恒成立，化简求得， ，满足条件图象关于直线对称，结合，整体换元得，从而证明结论

解析：（1）是函数

理由如下： 的定义域为，

只需证明存在实数， 使得对任意恒成立.

由，得，即.

所以对任意恒成立. 即

从而存在，使对任意恒成立.

所以是函数.

（2）记的定义域为，只需证明存在实数， 使得当且时，

恒成立，即恒成立.

所以，

化简得， .

所以, . 因为，可得， ,

即存在实数， 满足条件，从而是函数.

（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，

所以 （1），

又因为 （2），

所以当时，

由（1）

由（2） （3）

所以

（取由（3）得）

再利用（3）式， .

所以为周期函数，其一个周期为.

当时，即，又，

所以为常数. 所以函数为常数函数，

， 是一个周期函数.

综上，函数为周期函数