Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.

（1）求证：直线恒过定点；

（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；

（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）直线l可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点；

（2）说明直线l被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可得到直线的方程；．

（3）问题可转化为以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意.

详解：（1），

由 得 ，

即直线过定点M.

（）方法一：由题意可知：圆心C：，

，

又当所截弦长最短时， ，

.

方法二：∵圆心到直线的距离，

，

设弦长为，则，

当所截弦长最短时， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

当时， 取到最小值．

此时， 取最大值，弦长取最小值，

直线上方程为．

（）设，

当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆刚好相外切时，

，

解得或，

由题意，圆与圆心有两个交点时符合题意，

∴点横坐标的取值范围为．