Question

已知函数f（x）=x³-ax²，其中a为正常数
（1）若x=2为f（x）的极值点，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设h（x）=2x²+4，F（x）=f（x）+h（x），求F（x）的单调区间；
（3）当x∈[-1，1]时，设函数y=f（x）+a（x²-3x）的最大值为g（a），若关于a的方程g（a）-m=0有两个不等实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由极值点出的导数等于0求得a的值，在求出f（1）及f′（1），则由点斜式可求切线方程；
（2）把f（x）和h（x）代入F（x）=f（x）+h（x），求导后根据a的范围得到导函数两零点的关系，由零点对定义域分段后讨论在不同区间段内导函数的符号，由此得到原函数的单调区间；
（3）把f（x）代入y=f（x）+a（x²-3x），求导后由a的范围得到原函数的单调性，由单调性求得函数在x∈[-1，1]时的最大值为g（a），而得到的g（a）都是关于a的单调函数，说明方程g（a）-m=0有两个不等实根的m值不存在．

解答： 解：（1）由f（x）=x³-ax²，
得f′（x）=3x²-2ax，
∴f′（2）=12-4a，
∵x=2为f（x）的极值点，
∴12-4a=0，解得a=3．
∴f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
则f（1）=-2，f′（1）=-3．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2=-3（x-1），
即3x+y-1=0；
（2）由h（x）=2x²+4，f（x）=x³-ax²，
F（x）=f（x）+h（x）=x³-ax²+2x²-4，
F′(x)=3x2-(2a-4)x=3x(x-

2a-4

3

)，
若a=2，则F′（x）=3x²≥0，函数F（x）在R上为增函数；
若a＜2，当x∈（-∞，

2a-4

3

），（0，+∞）时，F′（x）＞0，
当x∈（

2a-4

3

，0）时，F′（x）＜0．
∴F（x）的增区间为（-∞，

2a-4

3

），（0，+∞），减区间为（

2a-4

3

，0）．
若a＞2，当x∈（-∞，0），（

2a-4

3

，+∞）时，F′（x）＞0，
当x∈（0，

2a-4

3

）时，F′（x）＜0．
∴F（x）的增区间为（-∞，0），（

2a-4

3

，+∞），减区间为（0，

2a-4

3

）；
（3）y=f（x）+a（x²-3x）=x³-ax²+ax²-3ax=x³-3ax，
y′=3x²-3a=3（x²-a），
若a≤0，y′≥0，函数在x∈[-1，1]上为增函数，最大值为g（a）=1-3a，
不满足方程g（a）-m=0有两个不等实根．
若a＞0，由y′=0，得x=±

a

，若

a

≥1，
即a≥1，在x∈[-1，1]上y′≤0，函数在x∈[-1，1]上为减函数，最大值g（a）=3a-1，不满足方程g（a）-m=0有两个不等实根．
若0＜a＜1，在[-1，-

a

），（

a

，1]上y′＞0，在（-

a

，

a

）上y′＜0，
∴g（a）=max{2a

a

，1-3a}，
不论g（a）=2a

a

还是g（a）=1-3a，函数g（a）都是单调函数，
∴使方程g（a）-m=0有两个不等实根的m值不存在．

点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，训练了分类讨论的数学思想方法，是难度较大的题目．