Question

6．已知函数f（x）=3x-2，x∈R．规定：给定一个实数x₀，赋值x₁=f（x₀），若x₁≤244，则继续赋值x₂=f（x₁），…，以此类推，若x_n-1≤244，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n称为赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值8次后该过程停止，则x₀的取值范围是$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 根据条件进行归纳得到x₀满足x_k-1=3x_k-2-2=3^k-1x₀-2×3^k-2≤244，x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-2×3^k-1＞244，解不等式组，令k=8即可得到答案．

解答 解：x₁=3x₀-2
x₂=3x₁-2=3²x₀-2×3-2
x₃=3x₂-2=3³x₀-2×3²-2×3-2
…
x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-2×3^k-1…-2×3-2
=3^kx₀-2×（3^k-1 +…+3+1）
=3^kx₀-3^k+1
若赋值k次后该过程停止，则x₀的满足
x_k-1=3x_k-2-2=3^k-1x₀-3^k-1+1≤244
x_k=3x_k-1-2=3^kx₀-3^k+1＞244
解得x₀∈（3^5-k+1，3^6-k+1]，（k∈N^*）．
则当k=8时，x₀∈（3^5-8+1，3^6-8+1]，
即$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$，
故答案为：$\frac{28}{27}＜{x_0}≤\frac{10}{9}$

点评 本题主要考查归纳推理的应用，其中根据已知条件中的定义，得到x₀的满足的不等式组，是解答本题的关键．考查学生的运算和推理能力．