Question

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.
（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；
（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；
（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）用作差法证，用单调性证。（Ⅱ）用反证法证明。即假设存在正整数，使得。根据和结合放缩法推倒论证得出与已知各项均为正整数相矛盾，则说明假设不成立即原命题成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和两种情况讨论，结合已知推理论证，根据等差的定义可证得存在 ，数列为等差数列.本题的关键是当可变形得，再用累加法表示，即，根据进行推理论证。
试题解析：（Ⅰ）证明：由，可得，，
所以，
所以对任意，．
又数列为递减数列，所以对任意，．
所以数列为“数列”．             5分
（Ⅱ）证明：假设存在正整数，使得．
由数列的各项均为正整数，可得．
由，可得．
且．
同理，
依此类推，可得，对任意，有．
因为为正整数，设，则.
在中，设，则．
与数列的各项均为正整数矛盾．
所以，对任意，.             10分
（Ⅲ）因为数列为“数列”，
所以，存在常数，对任意，．
设．
由（Ⅱ）可知，对任意，，
则．
若，则；若，则．
而时，有．
所以，，，，中最多有个大于或等于，
否则与矛盾．
所以，存在，对任意的，有．
所以，对任意，．
所以，存在，数列为等差数列.            14分