Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面，，

是的中点，作⊥交于点.

（1）证明：∥平面；

（2）证明：⊥平面.

Answer 1

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，往往利用其判定定理进行证明，即先证PA平行于平面某一条直线，这可根据三角形中位线性质得到：连结交与，连结，则点是的中点. 又∵是的中点，∴∥.而平面，平面，∴∥平面

（2）证明线面垂直，往往利用其判定定理进行证明，即先证垂直平面内两条相交直线：已知⊥，只需证⊥.由于⊥，因此只需证⊥，又由于⊥，只需证⊥，这可由⊥底面得到.

试题解析：证明：(1)连结交与，连结.

∵底面是矩形，

∴点是的中点.

又∵是的中点

∴在△中，为中位线

∴∥.

而平面，平面，

∴∥平面. 7分

(2)由⊥底面，得⊥.

∵底面是正方形，

∴⊥，

∴⊥平面. 而平面，

∴⊥.①

∵，是的中点，

∴△是等腰三角形， ⊥.②

由①和②得⊥平面.

而 平面，∴⊥.

又⊥且=，

∴⊥平面. 14分

考点：线面平行与垂直的判定定理