题目内容

16．已知sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$，β∈[0，π]，则tanβ的值为-$\frac{4}{3}$．

分析 利用同角三角函数间的基本关系可求得sinθ-cosθ=$\frac{7}{5}$，从而可求得sinθ与cosθ，继而可得答案．

解答 解：∵sinβ+cosβ=$\frac{1}{5}$，①
∴两边平方可得：1+sin2β=$\frac{1}{25}$，
∴sin2β=-$\frac{24}{25}$，又0≤β≤π，
∴sinβ＞0，cosβ＜0，
∴（sinβ-cosβ）2=1-sin2β=$\frac{49}{25}$，
∴sinβ-cosβ=$\frac{7}{5}$，②
由①②得：sinβ=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$．
∴tanβ=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练应用，属于中档题．

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