Question

8．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，求$\frac{c}{sinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，设a=2x，则b=3x，c=$\sqrt{7}$x，由余弦定理可求得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可得C的值．
（2）由三角形面积公式可求得：ab=24，又由（1）得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，即可解得a，b，c的值，从而可求$\frac{c}{sinC}$的值．

解答 解：（1）∵sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，
∴设a=2x，则b=3x，c=$\sqrt{7}$x，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{x}^{2}+9{x}^{2}-7{x}^{2}}{2×2x×3x}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC的面积为6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ab=24．
又∵由（1）可得：a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，
∴解得：a=4，b=6，c=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，比例的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．