Question

8．在四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=2，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，推导出点D在以AB为直径的圆上，由此能证明BD⊥平面PAD．
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，设C到平面PBD的距离为h，由V_P-BCD=V_C-PBD，能求出点C到平面PBD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DE∥BC，且DE=BC，
故DE=$\frac{1}{2}AB$，即点D在以AB为直径的圆上，
∴BD=AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知△ABD和△PBD都是直角三角形，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△PBD}=\frac{1}{2}PD•BD$=2$\sqrt{3}$，${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•CD•sin120°$=$\sqrt{3}$，
解得PO=$\sqrt{3}$，
设C到平面PBD的距离为h，
由V_P-BCD=V_C-PBD，得$\frac{1}{3}{S}_{△PBD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PO$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点C到平面PBD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．