Question

3．解下列关于x的不等式．
（1）x²-（a²+a）x+a³＞0；
（2）ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析 （1）把不等式化为（x-a）（x-a²）＞0，讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可；
（2）把原不等式化为（x-1）（ax-1）＜0，讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：（1）原不等式可化为（x-a）（x-a²）＞0，
①当a＜0时，解得x＞a²或x＜a；
②当a=0时，解得x≠0；
③当0＜a＜1时，解得x＞a或x＜a²；
④当a=1时，解得x≠1；
⑤当a＞1时，解得x＞a²或x＜a；
综上，当a＜0或a＞1时，不等式解集为{x|x＞a²或x＜a}；
当a=0时，不等式解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞a或x＜a²}；
当a=1时，不等式解集为{x|x≠1}；
（2）原不等式可化为（x-1）（ax-1）＜0，
当a＞0时，不等式可化为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
该不等式对应方程的两个实数根为1和$\frac{1}{a}$；
若a＞1，则1＞$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}；
若a=1，则1=$\frac{1}{a}$，不等式化为（x-1）²＜0，解集为∅；
若0＜a＜1，则1＜$\frac{1}{a}$，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
当a=0时，不等式化为-x+1＜0，解集为{x|x＞1}；
当a＜0时，不等式化为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜1，
解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的数学思想，是中档题