Question

已知函数f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（1）若函数f（x）满足f（3+x）=f（-x），求使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（3+x）=f（-x），可得二次函数的对称轴为x=

3

2

，即可求得b的值，代入f（x），将g（x）分类讨论去掉绝对值，再分类讨论，根据不同的解析式列出不等式求解，即可得到答案；
（2）将h（x）的解析式表示出来，分b=0和b≠0分类研究，当b=0时，不合题意，当b≠0时，根据h（x）的单调性，确定ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，对0＜x₁＜1，1≤x₂＜2时，及1≤x₁＜x₂＜2时分别进行求解，即可得到实数b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（3+x）=f（-x）
∴函数f （x）的图象关于直线x=

3

2

对称，
∵f（x）=x²+bx+2，
∴-

b

2

=

3

2

，解得b=-3，
∴f（x）=x²-3x+2，
∵g（x）=|x²-1|，
∴g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

，
①当x≤-1，或x≥1时，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此时x的范围为x≤-1，或x=1；
②当-1＜x＜1时，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥1-x²，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴此时x的范围为-1＜x≤

1

2

．
∴综合①②可得，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|x≤

1

2

或x=1}．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）+2，且f（x）=x²+bx+2，g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

，
∴h(x)=

2x2+bx+3，x≤-1或x≥1 bx+5，           -1＜x＜1

，
若b=0时，h(x)=

2x2+3，x≤-1或x≥1 5，            -1＜x＜1.

，显然h（x）＞0恒成立，不满足条件；
若b≠0时，函数ϕ（x）=bx+5在（0，1）上是单调函数，即ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
①当0＜x₁＜1，1≤x₂＜2时，则ϕ（0）ϕ（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
∴

b+5＜0 (b+5)(2b+11)≤0

，解得-

11

2

≤b＜-5；
经检验b=-

11

2

时，h（x）的零点为

10

11

，2（舍去），
∴-

11

2

＜b＜-5．
②当1≤x₁＜x₂＜2时，
∵ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，
∴

h(1)≥1 h(2)＞0 1＜- b 4 ＜2 b2-24＞0

，即

b+5≥0 2b+11＞0 -8＜b＜-4 b＜-2 6 或b＞2 6

解得-5≤b＜-2

6

．
∴综上所述，b的取值范围为-

11

2

＜b＜-2

6

．

点评：本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．